Paradoxes de dichotomie de Zénon: Réfutation de la prétendue résolution mathématique

Version 16 du 18.4.2024

Introduction

Le paradoxe de la dichotomie de Zénon peut être illustré avec le lancement d'une pierre vers un arbre situé à 8 mètres. Lorsque la pierre est propulsée en direction de l’arbre, elle doit inévitablement franchir une zone médiane qui la sépare de son objectif. Ce phénomène, apparemment anodin, est au cœur du paradoxe. Pour traverser cette zone, il est essentiel de passer par son centre, ce qui, en réalité, ne constitue pas une division comme pourrait le laisser penser le terme "dichotomie". Il serait plus correct de parler de passage obligé, dicté par les lois de la physique du mouvement, un point géographique indépendant de toute notion de divisions.Après avoir atteint la première moitié du trajet, la pierre est confrontée à la nécessité de couvrir la distance restante, qui se présente alors comme une nouvelle étape médiane. Ce processus, inhérent à la dynamique du mouvement, se répète indéfiniment, suivant la séquence 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. 

À chaque phase, la pierre diminue la distance qui la sépare de l’arbre en franchissant la moitié de l’espace restant, suggérant l’existence d’une série infinie de passages de moitiés restantes. Afin de faciliter la fluidité du texte, j’appellerai cela le “Parcours Éternel des Moitiés Restantes” (PE/MR).Pourtant, malgré le PE/MR, la pierre parvient à l’arbre, d’où le paradoxe : comment expliquer cela ?

De nos jours, une opinion largement répandue suggère que le paradoxe de la dichotomie de Zénon a été surmonté grâce au calcul infinitésimal. Cette idée gagne en crédulité du fait de sa très large diffusion, notamment sur des plateformes comme Wikipédia, où elle est largement rediffusée, pourtant, comme je vais le démontrer ici, cette interprétation est trompeuse. 

L'idée semble enfantine : il suffirait de calculer l’intégralité des moitiés restantes grâce à la technique du calcul infinitésimal pour prouver que le parcours de la pierre est fini malgré une infinité de moitiés restantes. Bien que cette opération mathématique soit parfaitement correcte, cette solution proposée dénote davantage d’une incompréhension du paradoxe plutôt que d’une résolution.

Réfutation : Pourquoi on ne peut contredire Zénon par la finitude ?

Il est erroné de penser que Zénon se trompe simplement parce que la distance entre la pierre et l’arbre est finie. Ce raisonnement suggère à tort que Zénon aurait envisagé une distance infinie. Or, le paradoxe du philosophe repose justement sur le fait que, même finie, cette distance implique un passage par une infinité de points médians, les moitiés restantes, qui ne rallongent pas les 8 mètres initiaux mais composent le défi du PE/MR.

Calculer que la distance est de 8 mètres ne contredit pas Zénon ; cela démontre simplement que l’espace à parcourir est fini, ce qui est un prérequis pour que son paradoxe prenne forme. Le véritable questionnement réside dans la manière dont cette finitude est atteinte malgré l’apparente infinité des étapes intermédiaires imposées par le PE/MR. La contradiction fondamentale du paradoxe n’est pas dans l’atteinte de la cible, puisque la pierre atteint effectivement l’arbre, mais dans l’explication de comment cela est possible si, logiquement, elle ne devrait jamais y parvenir à cause des incessantes moitiés restantes.

Si la distance avait été infinie, la question de savoir pourquoi la pierre atteint l’arbre serait superflue ; il n’y aurait pas de paradoxe. Mais Zénon montre que le parcours est simultanément fini par ses 8 mètres et infini par le processus du PE/MR.La limite, que l’on peut calculer ou simplement observer, indique que la pierre atteint l’arbre après 8 mètres, ce que chacun peut constater sans recours aux mathématiques. Cela souligne que le calcul infinitésimal, tout en étant utile, ne résout pas le paradoxe mais le met en évidence en illustrant cette dualité entre une réalité observable et les complexités mathématiques qu’elle engendre.

Le paradoxe réside dans la dualité entre finitude et infinité

Le parcours est simultanément fini, défini par la limite des 8 mètres, et infini à travers le Parcours Éternel des Moitiés Restantes (PE/MR). La distance entre la pierre et l’arbre est certes finie, mais l'examen du problème à travers les passages obligés par les moitiés restantes suggère que le parcours ne devrait jamais aboutir. Pourtant, il aboutit. Comment expliquer cette contradiction entre la réalité du PE/MR et l'atteinte effective de l'arbre ?

Affirmer que l'agrégation des étapes du PE/MR aboutit à une valeur de 8 mètres par "la limite" ne répond pas à la question fondamentale : comment ces 8 mètres sont-ils atteints dans le cadre du PE/MR ? Le fait que la pierre atteigne l'arbre est un simple constat qui reproduit le paradoxe. D'autre part, l'affirmation qu’on ne peut traverser un parcours sans passer par une zone médiane conduit au PE/MR, ce qui est tout aussi indéniable que le premier constat. 

Téléportation quantique 

Nier cette réalité équivaudrait à supposer qu'un mobile pourrait passer de son point de départ à son arrivée sans zones intermédiaires, ce qui s'apparenterait à une téléportation. Bien que l’idée de téléportation en dessous des échelles de Planck en physique quantique soit fascinante, elle reste une hypothèse non prouvée si elle le deviendrait, elle soulèverait  d’autres questions sur le pourquoi de cette téléportation, ce qui ne permet pas de résoudre le paradoxe de Zénon n’ayant aucune preuve de cette hypothèse. Mais c’est un autre sujet que celui du calcul infinitésimal. J’aborde cette hypothèse dans l’article connexe.

Revenons au calcul infinitésimal, qui traite de notre sujet principal : le parcours est logiquement fini par les 8 mètres définis par la limite, mais également logiquement infini si on adopte la perspective du PE/MR. Comme nous le verrons, le PE/MR est parfaitement reproduit par la notion de convergence dans cette même formule mathématique du calcule infinitesimal, mettant en lumière la complexité et la profondeur de l'analyse de Zénon. Cette dualité entre la convergence, qui représente une avancée incessante sans conclusion finale, et la limite, qui définit une conclusion théorique, illustre la nature profondément paradoxale de la réalité décrite par Zénon.

Comment finir un puzzle infini ?

Lorsque la pierre doit inévitablement traverser une zone médiane avant d’atteindre l’arbre, et que chaque moitié parcourue révèle une nouvelle zone médiane, cela crée un puzzle infini de moitiés restantes. Si on tente de construire ce puzzle moitié par moitié, cela conduit à une série sans fin de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …, un processus qui ne trouve jamais de conclusion. Dans le calcul infinitésimal, cette interminable suite est désignée comme la convergence, soulignant l’incapacité de finir le puzzle de façon traditionnelle en dépit de l’apparente progression vers une fin qui, paradoxalement, reste hors de portée.

Dissocier limite et convergence en calcul infinitésimal

Dans le calcul infinitésimal, il est crucial de dissocier deux concepts qui reproduisent fidèlement le problème soulevé par Zénon - la convergence qui est représentée par la série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… puis la limite représentée par les 8 mètres dans notre exemple. 

Bien que l'addition de moitiés restantes strictement positives puisse mathématiquement converger vers une valeur finie, il est crucial de comprendre ce que signifie réellement ce terme de convergence.

La convergence

En calcul infinitésimal, la série des moitiés restantes (PE/MR) est connue sous sa forme 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + etc. Or on peut continuer cette série à l'infini, mais on n'aboutira jamais à la limite des 8 mètres car il y aura constamment une infinité de nouvelles moitiés restantes à additionner. 

Ainsi, en calcul infinitésimal, la convergence n'atteint jamais la limite, elle ne fait que reproduire fidèlement l'ordre dans lequel les moitiés restantes sont traversées une à une dans l'ordre du temps, mais ce qui est très intéressant ici, c’est que cette convergence n’atteint jamais la limite, cela reproduit fidèlement le passage du PE/MR qui est incapable d’atteindre la limite des 8 mètres vers l’arbre. 

Ainsi, bien contrairement à ce qui est couramment répété sur internet, le calcul infinitésimal, loin de réfuter Zénon, reproduit à la perfection ce paradoxe millénaire.

D’une part, nous avons la limite qui est une agrégation de l’ensemble des moitiés restantes qui donne les 8 mètres initiaux du paradoxe, d’autre part il y a la convergence 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… qui « converge » vers la limite des 8 mètres mais qui ne l’atteint jamais et qui reproduit à l’identique la pierre qui avance de moitiés en moitiés vers l’arbre sans jamais l’atteindre.

Il est crucial de reconnaître que bien que la limite de 8 mètres puisse être calculée grâce à la convergence, cette dernière n'est mathématiquement pas capable d'atteindre effectivement la limite. Si la limite est fixée à 8 mètres, la convergence, quant à elle, reste un processus perpétuel, sans conclusion finale. 

Le véritable enjeu n'est pas de prétendre que la pierre n'atteint jamais l'arbre —puisqu'en réalité, elle le fait —mais de comprendre comment et pourquoi cela est possible à travers le Parcours Éternel des Moitiés Restantes du PE/MR. 

La limite ne modifie pas la nature infinie de la convergence ni ne la rend magiquement finie, mais elle offre une conclusion théorique en ignorant la question de savoir comment cette infinité parvient au fini. La limite, déduit une fin concrète — la pierre atteint l'arbre après 8 mètres et une seconde. 

Contrairement à la convergence qui tient compte de l'ordre séquentiel dans lequel les moitiés restantes sont parcourues dans le cadre du PE/MR, la limite se contente d'indiquer le point d'arrivée sans se soucier du chemin parcouru pour y parvenir. La convergence, en revanche, s'attache à l'ordre dans lequel les moitiés restantes sont traversées, respectant la séquentialité du temps, énumérée par les moitiés restantes 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, et ainsi de suite. 

C'est la convergence qui, par son souci du détail temporel, révèle toute la complexité du paradoxe de Zénon et maintient l'intégrité de son mystère.

Peut-on vraiment trancher entre la limite et la convergence ?

Le calcul infinitésimal reproduit fidèlement le paradoxe de Zénon à travers ces deux concepts. L'erreur fréquemment rencontrée, surtout sur internet, est de considérer seulement la limite, en omettant l’immense importance de la convergence. Cette approche simplifie indûment le problème en se focalisant sur le résultat final, sans explorer comment ce résultat est atteint.

Si l’expérience montre que, malgré le PE/MR, la pierre atteint l’arbre, certains pourraient conclure hâtivement que seule la limite compte. Cette interprétation suppose que l'ensemble des moitiés restantes, bien qu’infinis, convergent vers un total fini, apparemment confirmant une erreur de Zénon. 

Toutefois, cette vue ne contredit pas Zénon qui, d’une part a fondé son paradoxe sur un parcours fini 

D’autre part dans cette prétendu résolution la convergence du calcule infinitesimal a tout bonnement été oubliée.

La convergence n'est pas simplement une addition des distances parcourues, elle représente l'ordre séquentiel dans lequel chaque segment est parcouru. C'est ce processus, avec son éternel ajout de moitiés successives, qui illustre l'essence du paradoxe. 

Chaque nouveau segment parcouru par la pierre, représenté par les moitiés restantes 1/2, 1/4, 1/8, et ainsi de suite, introduit une nouvelle étape médiane, repoussant indéfiniment la conclusion du parcours.

En d'autres termes, si nous ne considérons que la limite, nous arrivons à une fausse conclusion croyant à tort démontrer que le parcours est fini alors que la convergence a été simplement oublié et abandonné. 

Ainsi bien au contraire de ce qui est entendu partout sur internet, le calcul infinitésimal, en distinguant clairement entre la limite et la convergence, ne résout pas le paradoxe mais le reformule mathématiquement. Il montre que, bien que la limite puisse être calculée, la convergence elle-même ne parvient jamais réellement à cette limite, confirmant ainsi la perspicacité du paradoxe au lieu de l’expliquer ou de le réfuter.

La convergence illustre ainsi comment la pierre se rapproche progressivement et indéfiniment de son objectif, ajoutant constamment de nouvelles moitiés restantes, chacune demandant du temps pour être franchie, et prolongeant éternellement le parcours. Cette perpétuelle addition de nouvelles étapes montre que, bien que la limite indique une fin, le chemin vers cette fin est paradoxalement mathématiquement infini, un reflet parfait du paradoxe de Zénon.

En résumé, le calcul infinitésimal lorsqu’il n’omet plus la convergence, ne choisit plus entre la limite et la convergence pour expliquer le paradoxe de Zénon; il utilise les deux pour démontrer que, même dans un espace fini, le mouvement implique une infinité d'étapes.

Cette approche mathématique ne résout pas le paradoxe, mais confirme sa complexité et son actualité, nous rappelant que certaines questions fondamentales sur la nature du mouvement et de l'infini demeurent encore insaisissables pour le moment.

Recherche personnelle 

Depuis 1998, année où j'ai découvert par hasard le Parcours Éternel des Moitiés Restantes (PE/MR) sans connaître les paradoxes de Zénon, j'ai développé plusieurs théories spatio-temporelles pour répondre aux questions soulevées par le PE/MR.

Sur mon site, je partage le parcours de mes réflexions approfondies accumulées au fil des décennies de travail intensif, expliquant pourquoi ces idées me semblent particulièrement pertinentes.

Je postule que l'univers s'étend au-delà des quatre dimensions perceptibles, avec l'infini comme cinquième dimension et l'éternité comme sixième. Selon moi, sans la compréhension de ces dimensions supplémentaires, il est logique de percevoir des contradictions dans les paradoxes de Zénon. Ces contradictions apparaissent car nos sens ne nous permettent pas de saisir la réalité de ces dimensions supérieures.

Mon livre numérique gratuit sur mon site, explore ces concepts et vise à les démontrer logiquement. 

Je vous invite à rejoindre la discussion et à partager vos réflexions via les commentaires sur Facebook, directement depuis chaque article sur mon site. Découvrez ces idées novatrices dans le premier chapitre intitulé « Le temps, une illusion ? Les paradoxes de Zénon résolus par les théories du postulat PE/MR ? »

Cet article, fruit de mes recherches, est librement utilisable, à condition de citer la source.

Olivier Dusong